Question

19．马璐、高静两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法：
（1）如图，作直径AD；
（2）作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B、C两点；
（3）连接AB、AC、BC，那么△ABC为所求的三角形．
请你判断两位同学的作法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC，然后给出△ABC是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由．

Answer 1

分析 利用锐角三角函数关系得出∠BOE=60°，进而得出∠COE=∠BOE=60°，再利用圆心角定理得出答案

解答 解：两位同学的方法正确．
连BO、CO，
∵BC垂直平分OD，
∴直角△OEB中．cos∠BOE=$\frac{OE}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∠BOE=60°，由垂径定理得∠COE=∠BOE=60°，
由于AD为直径，∴∠AOB=∠AOC=120°，
∴AB=BC=CA，
即△ABC为等边三角形

点评 此题主要考查了垂径定理以及圆心角定理和等边三角形的判定等知识，得出∠AOB=∠AOC=120°是解题关键．