Question

已知向量

a

=（2sin（ωx+

2π

3

），2），

b

=（2cosωx，0）（ω＞0），函数f（x）=

a

•

b

的图象与直线y=-2+

3

的相邻两个交点之间的距离为π．
（1）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间；
（2）将函数f（x）的图象向右平移

π

12

个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,平面向量数量积的运算,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，利用余弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间，即可求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间；
（2）通过将函数f（x）的图象向右平移

π

12

个单位，得到函数y=g（x）的图象．求出g（x）的表达式，求出函数的零点在一个周期内的个数，利用y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，判断b的位置，即可求b的最小值．

解答： 解：（1）函数f（x）=

a

•

b

=4sin（ωx+

2π

3

）cosωx=[4sinωx（-

1

2

）+4×

3

2

cosωx]cosωx=2

3

cos²ωx-sin2ωx=

3

(1+cos2ωx)-sin2ωx=2cos(2ωx+

π

6

)+

3

，
由题意得：T=π，ω＞0，∴

2π

2ω

=π，∴ω=1，
故f（x）=2cos（2x+

π

6

）+

3

.2kπ-π≤2x+

π

6

≤2kπ（k∈Z），
∴kπ-

7π

12

≤x≤kπ-

π

12

（k∈Z），
∴y=cos（2x+

π

6

）+

3

的单调递增区间为[kπ-

7π

12

，kπ-

π

12

]（k∈Z）．
当k=1时，函数的单调增区间[

5π

12

，

11π

12

]．
当k=2时，函数的单调增区间[

17π

12

，

23π

12

]．
函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间[

5π

12

，

11π

12

]，[

17π

12

，

23π

12

]．
（2）将函数f（x）的图象向右平移

π

12

个单位，得到函数y=g（x）=2cos2x+

3

的图象．
令g（x）=0得，x=kπ+

5π

12

或x=kπ+

7π

12

，k∈Z，
∴函数g（x）在每个周期内恰好有两个零点，
若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，
则x不小于第10个零点即可，
∴b的最小值为4π+

7π

12

=

55π

12

．

点评：本题考查复合三角函数的单调性，三角函数的图象的平移变换，函数的零点．着重考查余弦函数的性质，属于中档题．