Question

在△ABC中，已知∠A=

π

3

，边BC=2

3

，设∠B=x，△ABC的周长记为y．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式，并指出其定义域；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间及其值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数解析式的求解及常用方法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用正弦定理分别求得AB，AC，进而表示出三角形的周长得到y的表达式．根据三角形内角和确定x的范围．
（Ⅱ）利用三角函数的性质求得函数的单调区间和最大，最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由正弦定理知

BC

sinA

=

AC

sinx

=

AB

sinC

∴AC=

BC

sinA

•sinx=4sinx，
同理可求得AB=4sin（

2π

3

-x），
∴y=f（x）=4sinx+4sin（

2π

3

-x）+2

3

，=4

3

sin（x+

π

6

）+2

3

，（0＜x＜

2π

3

）
（Ⅱ）当2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，即2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

时，k∈Z，函数单调增，
当2kπ+

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，即2kπ+

π

3

≤x≤2kπ+

4π

3

时，k∈Z，函数单调减，
∵0＜x＜

2π

3

，
∴函数的单调增区间为（0，

π

3

），单调减区间是（

π

3

，

2π

3

），
函数的值域为（4

3

，6

3

]．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的图象与性质．考查学生综合运用所学知识的能力．