Question

已知抛物线y²=2px（p＞0），过原点分别作斜率是k₁，k₂的直线，交抛物线于A，B两点，直线AB与x轴的交点为M（x₀，0）
（1）若k₁•k₂=-2，直线AB是否过定点？同时求△AOB面积的最小值；
（2）若∠AOB=

π

3

，求x₀的最小值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意可设直线AB的方程为：my=x-x₀．与抛物线方程联立可得根与系数的关系、利用斜率公式即可得出x₀，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出；
（2）利用（1）的结论、斜率计算公式、两角和的正切公式、一元二次方程的解法即可得出．

解答： 解：（1）由题意可设直线AB的方程为：my=x-x₀．
联立

my=x-x0 y2=2px

，化为y²-2pmy-2px₀=0，
∴y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-2px₀．
∵k1=

y1

x1

，k2=

y2

x2

，k₁k₂=-2．
∴

y1y2

x1x2

=-2．
∴y₁y₂=-2x₁x₂，
又x₁x₂=（my₁+x₀）（my₂+x₀）=m²y₁y₂+mx₀（y₁+y₂）+

x

2 0

=-2pm2x0+2pm2x0+

x

2 0

=

x

2 0

．
∴-2px0=-2

x

2 0

，
∵x₀≠0，∴x₀=p．
因此直线AB过定点M（p，0）．
∵|AB|=

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(1+m2)[4p2m2+8p2]

，
点O到直线AB的距离d=

p

1+m2

．
∴△AOB面积S=

1

2

|AB|•d=

1

2

×

(1+m2)(4p2m2+8p2)

×

p

1+m2

=p2

m2+2

≥

2

p2．
因此当m=0时，△AOB的面积取得最小值

2

p2．
（2）由（1）可得：y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-2px₀．
∵k1=

y1

x1

=tan∠AOM，k2=

y2

x2

=tan[π-（

π

3

-∠AOM）]=tan（

2π

3

+∠AOM）=

- 3 +tan∠AOM

1+ 3 tan∠AOM

=

- 3 +k1

1+ 3 k1

，
∴k2+

3

k1k2=-

3

+k1．
∴

y2

x2

+

3 y1y2

x1x2

=-

3

+

y1

x1

，
化为y2x1+

3

y1y2=y1x2-

3

x1x2
又x₁x₂=（my₁+x₀）（my₂+x₀）=m²y₁y₂+mx₀（y₁+y₂）+

x

2 0

=-2pm2x0+2pm2x0+

x

2 0

=

x

2 0

．
y₂x₁=y₂（my₁+x₀）=my₁y₂+y₂x₀，y₁x₂=y₁（my₂+x₀）=my₁y₂+y₁x₀．
∴my₁y₂+x₀y₂+

3

y1y2=my₁y₂+y₁x₀-

3

x

2 0

．
∴x0y2-2

3

px0=y1x0-

3

x

2 0

，
∵x₀≠0，
∴

3

(x0-2p)=y1-y2．
当y₁＜y₂时，
∴3(x0-2p)2=(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=4p²m²+8px₀．
化为3

x

2 0

-20px0+12p2-4p2m2=0，
解得x0=

20p±4p 3m2+16

6

=

10p±2p 3m2+16

3

≥

2p

3

∴x₀的最小值为

2p

3

．

点评：本题综合考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率公式、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、两角和的正切公式、一元二次方程的解法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．