Question

在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，已知a=2．
（1）若A=

π

3

，求b+c的取值范围；
（2）若

AB

•

AC

=1，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性即可得出；
（2）利用数量积运算、同角三角函数基本关系式、余弦定理、基本不等式、三角形面积计算公式即可得出．

解答： 解：（1）∵a=2，A=

π

3

，∴

a

sinA

=

2

3 2

=

4 3

3

=2R=

b

sinB

=

c

sinC

，
∴b+c=

4 3

3

sinB+

4 3

3

sinC
=

4 3

3

sinB+

4 3

3

sin(π-

π

3

-B)
=

4 3

3

sinB+

4 3

3

sin(B+

π

3

)
=

4 3

3

sinB+

4 3

3

(

1

2

sinB+

3

2

cosB)
=2

3

sinB+2cosB
=4(

3

2

sinB+

1

2

cosB)
=4sin(B+

π

6

)．
∵A=

π

3

，∴B+C=

2π

3

．
∴0＜B＜

2π

3

，
∴

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

，
∴sin(B+

π

6

)∈(

1

2

，1]．
∴b+c∈（2，4]，
（2）∵

AB

•

AC

=1，
∴bccosA=1．
∴cosA=

1

bc

＞0，
∴sinA=

1-cos2A

=

b2c2-1

bc

，
∵a²=b²+c²-2bccosA，
∴4=b²+c²-2，6=b²+c²≥2bc，
∴bc≤3，∴b²c²≤9．
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bc•

b2c2-1

bc

=

1

2

b2c2-1

≤

1

2

9-1

=

2

．
当且仅当b=c=

3

时，△ABC的面积取到最大值为

2

．

点评：本题考查了正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性、数量积运算、同角三角函数基本关系式、余弦定理、基本不等式、三角形面积计算公式等可基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．