Question

已知

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosα，sinα），且k

a

+

b

的长度是

a

-k

b

的长度的

3

倍（k＞0）．
（1）求证：

a

+

b

与

a

-

b

垂直；
（2）用k表示

a

•

b

；
（3）用

a

•

b

的最小值以及此时

a

与

b

的夹角θ．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,不等式的解法及应用,平面向量及应用

分析：（1）求出向量a，b的模，再由向量垂直的条件，即可得证；
（2）运用向量的平方即为模的平方，化简即可得到；
（3）运用基本不等式即可求出最小值，再由向量的夹角公式，即可得到夹角．

解答： （1）证明：由于|

a

|=|

b

|=1，
则（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=

a

2-

b

2=0，
则

a

+

b

与

a

-

b

垂直；
（2）解：由于k

a

+

b

的长度是

a

-k

b

的长度的

3

倍（k＞0），
则（k

a

+

b

）²=3（

a

-k

b

）²，
k²

a

2+

b

2+2k

a

•

b

=3

a

2-6k

a

•

b

+3k²

b

2，
由于|

a

|=|

b

|=1，
则

a

•

b

=

k2+1

4k

；
（3）解：由于k＞0，
则（k-1）²≥0，从而k²+1≥2k，
即

k2+1

4k

≥

2k

4k

=

1

2

，
∴

a

•

b

的最小值为

1

2

，
此时cosθ=

a • b

| a || b |

=

1

2

，则θ=60°，
即

a

与

b

夹角为60°．

点评：本题考查向量的数量积的运算和性质，考查向量的夹角公式以及基本不等式的运用：求最值，属于中档题．