Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，半长轴长的平方与半焦距相等，过椭圆的左焦点F₁作倾斜角为45°的直线l与椭圆交于A、B两点，设M为A、B的中点，且直线L与直线OM的夹角余弦值为

5

5

，求椭圆的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,作图题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：作出图象，设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，与直线方程联立，解出点M的坐标，从而由三角恒等变换可求出直线OM的斜率，从而得到方程组，解方程组即可．

解答： 解：如图，由题意，设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1；
则由cos∠BMO=

5

5

可得，
tan∠BMO=2，
则tan∠MOF₁=

tan∠BMO-tan45°

1+tan∠BMO•tan45°

=

1

3

，
设直线l的方程为y=x+c，
与椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1联立可得，
（a²+b²）x²+2a²cx+a²c²-a²b²=0，
则由韦达定理可得，
x₁+x₂=-2

a2c

a2+b2

，y₁+y₂=2

b2c

a2+b2

；
则M（-

a2c

a2+b2

，

b2c

a2+b2

），
则由题意可得，

b2c

a2+b2

：

a2c

a2+b2

=

1

3

，
又∵c=a²，a²=b²+c²，
解得，c=

2

3

，a²=

2

3

，b²=

2

9

；
故椭圆的方程为

3x2

2

+

9y2

2

=1．

点评：本题考查了椭圆与直线的位置关系，同时考查了三角恒等变换，属于难题．