Question

17．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥底面ABCD，PA=AB=2，BC=$\frac{1}{2}$PA，BD=$\sqrt{3}$，E在PC边上．
（1）求证：平面PDA⊥平面PDB；
（2）当E是PC边上的中点时，求异面直线AP与BE所成角的余弦值；
（3）若二面角E-BD-C的大小为30°，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）由题意可得AD²+BD²=AB²，得AD⊥BD，再由PD⊥底面ABCD，得BD⊥平面PAD，由面面垂直的判定得平面PDA⊥平面PDB；
（2）以D为原点建立如图3所示空间直角坐标系，由已知得到点D、P、A、B、C、E的坐标，由$\overrightarrow{AP}、\overrightarrow{BE}$的夹角求得异面直线AP与BE所成角的余弦值；
（3）由C，E，P三点共线，得$\overrightarrow{DE}=λ\overrightarrow{DP}+（1-λ）\overrightarrow{DC}$，且0≤λ≤1，从而求出$\overrightarrow{DE}、\overrightarrow{DB}$的坐标，再求出平面EDB与平面CBD的法向量，结合二面角E-BD-C的大小为30°列式求得λ，进一步得到$\overrightarrow{DE}$的坐标，则DE的长可求．

解答 （1）证明：∵底面ABCD是平行四边形，∴AD=BC=1，
又$BD=\sqrt{3}，\;\;AB=2$，满足AD²+BD²=AB²，
∴AD⊥BD，
又∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BD，得BD⊥平面PAD，
∵BD?平面PDB，∴平面PDA⊥平面PDB；
（2）解：以D为原点建立如图3所示空间直角坐标系，

则$D（0，\;\;0，\;\;0），\;\;P（0，\;\;0，\;\;\sqrt{3}），\;\;A（1，\;\;0，\;\;0），\;\;B（0，\;\;\sqrt{3}，\;\;0）$，$C（-1，\;\;\sqrt{3}，\;\;0）$，
∵E是PC边上的中点，∴$E（{-\frac{1}{2}，\;\;\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\;\;\frac{{\sqrt{3}}}{2}\;}）$，
则$\overrightarrow{AP}=（-1，\;\;0，\;\;\sqrt{3}），\;\;\overrightarrow{BE}=（{-\frac{1}{2}，\;\;-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\;\;\frac{{\sqrt{3}}}{2}\;}）$，
∴cos＜$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BE}$＞=|$\frac{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{BE}|}$|=|$\frac{-1×（-\frac{1}{2}）+0×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）+\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{（-1）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}×\sqrt{（-\frac{1}{2}）^{2}+（-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$；
（3）解：由C，E，P三点共线，
得$\overrightarrow{DE}=λ\overrightarrow{DP}+（1-λ）\overrightarrow{DC}$，且0≤λ≤1，
从而有$\overrightarrow{DE}=（λ-1，\;\;\sqrt{3}（1-λ），\;\;\sqrt{3}λ），\;\;\overrightarrow{DB}=（0，\;\;\sqrt{3}，\;\;0）$，
设平面EDB的法向量为$\overrightarrow n=（x，\;\;y，\;\;z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{（λ-1）x+\sqrt{3}（1-λ）y+\sqrt{3}λz=0}\\{\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，
取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow n=（{\sqrt{3}，\;\;0，\;\;\frac{1-λ}{λ}}）$，
又平面CBD的法向量可取$\overrightarrow m=（0，\;\;0，\;\;1）$，
∵二面角E-BD-C的大小为30°，∴cos30°=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|，解得$λ=\frac{1}{4}$．
∴$\overrightarrow{DE}=（-\frac{3}{4}，\frac{3\sqrt{3}}{4}，\frac{\sqrt{3}}{4}）$，则|DE|=|$\overrightarrow{DE}$|=$\frac{\sqrt{39}}{4}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求解二面角的平面角，考查计算能力，是中档题．