Question

【题目】已知函数f（x）=|x|+|x﹣1|．
（Ⅰ）若f（x）≥|m﹣1|恒成立，求实数m的最大值M；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a，b满足a2+b2=M，证明：a+b≥2ab．

Answer 1

【答案】解：（ I）由已知可得 ，
所以fmin（x）=1，
所以只需|m﹣1|≤1，解得﹣1≤m﹣1≤1，∴0≤m≤2，
所以实数m的最大值M=2
（ II）法一：综合法
∴ab≤1∴ ，当且仅当a=b时取等号，①
又∴ ∴ ，当且仅当a=b时取等号，②
由①②得，∴ ，所以a+b≥2ab
法二：分析法因为a＞0，b＞0，
所以要证a+b≥2ab，只需证（a+b）2≥4a2b2 ，
即证a2+b2+2ab≥4a2b2 ，
， 所以只要证2+2ab≥4a2b2 ，
即证2（ab）2﹣ab﹣1≤0，
即证（2ab+1）（ab﹣1）≤0，因为2ab+1＞0，所以只需证ab≤1，
下证ab≤1，
因为2=a2+b2≥2ab，所以ab≤1成立，
所以a+b≥2ab
【解析】（ I）求出函数的解析式，然后求解函数的最小值，通过|m﹣1|≤1，求解m的范围，得到m的最大值M．（ II）法一：综合法，利用基本不等式证明即可．法二：利用分析法，证明不等式成立的充分条件即可．