分析:(Ⅰ)求导函数,令f′(x)=0,得
x1=, x2=1,再进行分类讨论:当
a=时,f'(x)≤0;当
0<a<时,
>1,在(0,1)和
(,+∞)上,有f'(x)<0,在
(1,)上,f'(x)>0,由此即可得到结论;
(Ⅱ)当
a=时,
=3,
f(x)=lnx-x+-1,确定函数f(x)在(0,2)的最小值,再将对任意x
1∈(0,2),当x
2∈[1,2]时,f(x
1)≥g(x
2)恒成立,转化为只需当x∈[1,2]时,g
max(x)≤f(x)
min即可,由此可求实数b的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)求导函数可得:
f′(x)=-a-==
-(x>0)令f′(x)=0,得
x1=, x2=1…(3分)
当
a=时,f'(x)≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减 …(4分)
当
0<a<时,
>1,在(0,1)和
(,+∞)上,有f'(x)<0,函数f(x)单调递减,
在
(1,)上,f'(x)>0,函数f(x)单调递增 …(6分)
(Ⅱ)当
a=时,
=3,
f(x)=lnx-x+-1由(Ⅰ)知,函数f(x)在(0,1)上是单调递减,在(1,2)上单调递增,
所以函数f(x)在(0,2)的最小值为
f(1)=-…(8分)
若对任意x
1∈(0,2),当x
2∈[1,2]时,f(x
1)≥g(x
2)恒成立,
只需当x∈[1,2]时,g(x)
max≤-
即可,
又g(x)=(x-b)
2+4-b
2,x∈[1,2]
当b<1时,g(x)
max=g(2)=8-4b≤-
,b≥
,不合题意,舍去,
当b∈[1,2]时,g(x)
max=g(b)=4-b
2≥0,不合题意,舍去,
当b>2时,g(x)
max=g(1)=5-2b,b≥
.
综上,实数b的取值范围是[
,+∞).
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查恒成立问题,解题的关键是将对任意x1∈(0,2),当x2∈[1,2]时,f(x1)≥g(x2)恒成立,转化为只需当x∈[1,2]时,gmax(x)≤f(x)min.