Question

已知f（x）=log_a（a＞0，a≠1）．
（1）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；
（2）当x∈（r，a-2）时，f（x）的值域为（1，+∞），求a与r的值；
（3）若f（x）≥log_a2x，求x的取值范围．

Answer 1

解：（1）任取1＜x₁＜x₂，则
f（x₂）-f（x₁）=log_a-log_a
=log_a
=log_a．
又∵x₂＞x₁＞1，∴x₁-x₂＜x₂-x₁．
∴0＜x₁x₂-x₂+x₁-1＜x₁x₂-x₁+x₂-1．
∴0＜＜1．
当a＞1时，f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x）在（1，+∞）上是减函数；
当0＜a＜1时，f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（2）由＞0得x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）．
∵=1+≠1，∴f（x）≠0．
当a＞1时，
∵x＞1?f（x）＞0，x＜-1?f（x）＜0，
∴要使f（x）的值域是（1，+∞），只有x＞1．
又∵f（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴f^-1（x）在（1，+∞）上也是减函数．
∴f（x）＞1?1＜x＜f^-1（1）=．
∴∴
当0＜a＜1时，
∵x＞1?f（x）＜0，x＜-1?f（x）＞0，
∴要使值域是（1，+∞），只有x＜-1．
又∵f（x）在（-∞，-1）上是增函数，
∴f（x）＞1?-1＞x＞f^-1（1）=．
∴无解．
综上，得a=2+，r=1．
（3）由f（x）≥log_a2x得
当a＞1时，?＜x＜且x＞1．
∴1＜x＜．
当0＜a＜1时，
∴x＞．
分析：（1）利用函数单调性的定义，通过对a分类讨论判断出f（x）的单调性．
（2）求出函数的定义域，对a分类讨论求函数的值域；利用原函数与其反函数的关系列出方程，求出a与r．
（3）对a分类讨论，利用函数的单调性脱去对数符号，解不等式组求出解集．
点评：本题考查函数单调性的定义、原函数与反函数的关系、利用对数函数的单调性解对数不等式、分类讨论的数学思想．