Question

20．已知0＜α＜π，sin（π-α）+cos（π+α）=m．
（1）当m=1时，求α；
（2）当$m=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$时，求tanα的值．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得sinαcosα=0，结合0＜α＜π，可得cosα=0，从而求得α的值．
（2）当$m=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$时，$sinα-cosα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，由此利用同角三角函数的基本关系求得sinα+cosα的值，可得sinα和cosα的值，从而求得tanα的值．

解答 解：（1）由已知得：sinα-cosα=1，所以1-2sinαcosα=1，∴sinαcosα=0，
又0＜α＜π，∴cosα=0，∴$α=\frac{π}{2}$．
（2）当$m=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$时，$sinα-cosα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．①
$1-2sinαcosα=\frac{1}{5}$，∴$sinαcosα=\frac{2}{5}＞0$，∴$0＜α＜\frac{π}{2}$，
∵${（{sinα+cosα}）^2}=1+2sinαcosα=\frac{9}{5}$，∴$sinα+cosα=\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$．②
由①②可得$sinα=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，$cosα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
∴tanα=2．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，属于基础题．