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    （2010•湖北模拟）已知数列|an|满足：an=n+1+
    8
    7
    an+1    ，且存在大于1的整数k使ak=0，m=1+
    8
    7
    a1    ．
    （1）用k表示m（化成最简形式）；
    （2）若m是正整数，求k与m的值；
    （3）当k大于7时，试比较7（m-49）与8（k2-k-42）的大小．
    分析：（1）利用数列|an|满足：an=n+1+
    8
    7
    an+1    ，且存在大于1的整数k使ak=0，m=1+
    8
    7
    a1    ．逐步迭代可得m=1+2×
    8
    7
    +3×(
    8
    7
    )2+…+k×(
    8
    7
    )k-1    ，再写一式，两式相减，可求；
    （2）由k＞1，m是正整数，可知|k-7|＜7n-1，故有k-7=0，所以可求k=7，m=49；
    （3）根据（1），表示出7（m-49），进而利用二项式定理可证．
    解答：解：（1）m=1+
    8
    7
    a1=1+
    8
    7
    (2+
    8
    7
    a2    ）
    =1+2×
    8
    7
    +(
    8
    7
    )2a2
    =1+2×
    8
    7
    +(
    8
    7
    )2[3+
    8
    7
    a3    ]
    =1+2×
    8
    7
    +3×(
    8
    7
    )2+…+k×(
    8
    7
    )k-1                   ①…（2分）
    ∴
    8
    7
    m=1×
    8
    7
    +2×(
    8
    7
    )2+3×(
    8
    7
    )3+…+k×(
    8
    7
    )k       ②
    由①-②得-
    1
    7
    m=1+1×
    8
    7
    +(
    8
    7
    )2+…+(
    8
    7
    )k-1-k×(
    8
    7
    )k    …（4分）
    ∴-
    1
    7
    m=
    (
    8
    7
    )    k    -1
    8
    7
    -1
    -k×(
    8
    7
    )k
    ∴m=49+（k-7）×
    8k
    7k-1
    …（6分）
    （2）由k＞1知|k-7|＜7n-1
    又∵m∈N*故此有k-7=0
    故k=7，m=49…（9分）
    （3）∵m=49+（k-7）×
    1
    7k-1

    ∴7（m-49）=56（k-7）•(1+
    1
    7
    )    k-1
    =56（k-7）[1+Ck-11•
    1
    7
    +
    C
    2
    k-1
    •
    1
    72
    +…+
    C
    k-1
    k-1
    •
    1
    7k-1
    ]＞56(k-7)[1+
    C
    1
    k-1
    +
    1
    7

    ＞8（k-7）（k+6）
    =8（k2-k-42）
    ∴7（m-49）＞8（k2-k-42）…（14分）
    点评：本题以数列为依托，综合考查数列与不等式，借助于错位相减法考查数列求和，考查利用二项式定理比较大小．
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