【题目】在一个棱长为的正方体的表面涂上颜色,将其适当分割成棱长为
的小正方体,全部放入不透明的口袋中,搅拌均匀后,从中任取一个,取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色的概率是()
A. B.
C.
D.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,圆
的参数方程为
(
为参数),圆
与圆
外切于原点
,且两圆圆心的距离
,以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆和圆
的极坐标方程;
(2)过点的直线
、
与圆
异于点
的交点分别为点
和点
,与圆
异于点
的交点分别为点
和点
,且
.求四边形
面积的最大值.
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【题目】选修4—4:极坐标与参数方程
在平面直角坐标系中,将曲线
(
为参数) 上任意一点
经过伸缩变换
后得到曲线
的图形.以坐标原点
为极点,x轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线
.
(Ⅰ)求曲线和直线
的普通方程;
(Ⅱ)点P为曲线上的任意一点,求点P到直线
的距离的最大值及取得最大值时点P的坐标.
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【题目】某厂生产不同规格的一种产品,根据检测标准,其合格产品的质量与尺寸x(mm)之间近似满足关系式
(b、c为大于0的常数).按照某项指标测定,当产品质量与尺寸的比在区间
内时为优等品.现随机抽取6件合格产品,测得数据如下:
尺寸x(mm) | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
质量y (g) | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24 | 25.5 |
质量与尺寸的比 | 0.442 | 0.392 | 0.357 | 0.329 | 0.308 | 0.290 |
(Ⅰ)现从抽取的6件合格产品中再任选3件,记为取到优等品的件数,试求随机变量
的分布列和期望;
(Ⅱ)根据测得数据作了初步处理,得相关统计量的值如下表:
75.3 | 24.6 | 18.3 | 101.4 |
(ⅰ)根据所给统计量,求y关于x的回归方程;
(ⅱ)已知优等品的收益(单位:千元)与
的关系为
,则当优等品的尺寸x为何值时,收益
的预报值最大?(精确到0.1)
附:对于样本
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
,
.
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【题目】某学校为了加强学生数学核心素养的培养,锻炼学生自主探究学习的能力,他们以教材第97页B组第3题的函数为基本素材,研究该函数的相关性质,取得部分研究成果如下:
①同学甲发现:函数是偶函数;
②同学乙发现:对于任意的都有
;
③同学丙发现:对于任意的,都有
;
④同学丁发现:对于函数定义域中任意的两个不同实数
,总满足
.
其中所有正确研究成果的序号是__________.
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【题目】甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制,每场必须分出胜负,场与场之间互不影响,只要有一队获胜4场就结束比赛.现已比赛了4场,且甲篮球队胜3场.已知甲球队第5,6场获胜的概率均为,但由于体力原因,第7场获胜的概率为
.
(1)求甲队分别以,
获胜的概率;
(2)设表示决出冠军时比赛的场数,求
的分布列及数学期望.
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【题目】如图,已知点是圆心为
半径为
的半圆弧上从点
数起的第一个三等分点,点
是圆心为
半径为
的半圆弧的中点,
、
分别是两个半圆的直径,
,直线
与两个半圆所在的平面均垂直,直线
、
共面.
(1)求三棱锥的体积;
(2)求直线与
所成角的余弦值.
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