Question

已知函数f(x)=4cosx•sin(x-

π

3

)+a的最大值为2．
（1）求a的值及函数f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，若A＜B，且f（A）=f（B）=1，求

BC

AB

的值．

Answer 1

分析：（1）通过两角差展开，利用二倍角与两角和化简函数，一个角的一个三角函数的形式，通过函数的最大值求a的值，利用周期公式求出函数f（x）的最小正周期；
（2）通过△ABC中，若A＜B，且f（A）=f（B）=1，求出A，B的大小通过C的值，利用正弦定理求

BC

AB

的值．

解答：解：f(x)=4cosx(

1

2

sinx-

3

2

cosx)+a=2sinxcosx-2

3

cos2x+a
=sin2x-

3

(1+cos2x)+a=2sin(2x-

π

3

)+a-

3

．
（1）若f（x）的最大值为2，则a-

3

=0，∴a=

3

，
此时，f(x)=2sin(2x-

π

3

)，其最小正周期为π；
（2）由（1）知，f(x)=2sin(2x-

π

3

)，
若x是三角形内角，则0＜x＜π，∴-

π

3

＜2x-

π

3

＜

5π

3

，
令f（x）=1，则sin(2x-

π

3

)=

1

2

，
∴2x-

π

3

=

π

6

或2x-

π

3

=

5π

6

，解得x=

π

4

或x=

7π

12

，
由已知，A，B是△ABC的内角，A＜B且f（A）=f（B）=1，
∴A=

π

4

，B=

7π

12

，∴C=π-A-B=

π

6

，
∴

BC

AB

=

sinA

sinC

=

sin π 4

sin π 6

=

2

．

点评：本题考查三角函数的化简求值，基本性质的应用，二倍角与两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，考查计算能力．