Question

9．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是$\widehat{DF}$的中点．
（Ⅰ）设P是$\widehat{CE}$上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
（Ⅱ）当AB=3，AD=2，求二面角E-AG-C的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AP⊥BE，AB⊥BE，得BE⊥平面ABP，从而BE⊥BP，由此能求出∠CBP=30°．
（Ⅱ）以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-AG-C的大小．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP?平面ABP，AB∩AP=A，
所以BE⊥平面ABP，…（2分）
又BP?平面ABP，…（3分）
所以BE⊥BP，又∠EBC=120°，
因此∠CBP=30°…（4分）
（Ⅱ）以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得A（0，0，3）E（2，0，0），$G（1，\sqrt{3}，3）$，$C（-1，\sqrt{3}，0）$，
故$\overrightarrow{AE}=（2，0，-3）$，$\overrightarrow{AG}=（1，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{CG}=（2，0，3）$，…（6分）
设$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁）是平面AEG的一个法向量．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AG}=0}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}m•\overrightarrow{AE}=0\\ m•\overrightarrow{AG}=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}2{x_1}-3{z_1}=0\\{x_1}+\sqrt{3}{y_1}=0\end{array}\right.$，
取z₁=2，可得平面AEG的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（3，-$\sqrt{3}$，2）．…（8分）
设$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂）是平面ACG的一个法向量．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AG}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CG}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x_2}+\sqrt{3}{y_2}=0\\ 2{x_2}+3{z_2}=0\end{array}\right.$，取z₂=-2，可得平面ACG的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（3，-$\sqrt{3}$，-2）．…（10分）
所以cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2}$．
因此二面角E-AG-C的大小为60°．…（12分）

点评 本题考查角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．