Question

4．已知函数 f（x）=asinx-bcosx（a，b为常数，a≠0，x∈R）在x=$\frac{π}{4}$处取得最小值，则函数g（x）=f（$\frac{3π}{4}$-x）是（　　）

• A． 偶函数且它的图象关于点 （π，0）对称
• B． 奇函数且它的图象关于点 （π，0）对称
• C． 奇函数且它的图象关于点（$\frac{3π}{2}$，0）对称
• D． 偶函数且它的图象关于点（$\frac{3π}{2}$，0）对称

Answer 1

分析 根据题意可得g（x）=f（$\frac{3π}{4}$-x）=f（x-$\frac{π}{4}$），故g（x）可以看成把f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位得到的，再根据对称轴和对称中心最少相差$\frac{1}{4}$T，得出结论．

解答 解：∵函数 f（x）=asinx-bcosx （a，b为常数，a≠0，x∈R）在x=$\frac{π}{4}$处取得最小值，最小正周期为2π，
则f（$\frac{3π}{4}$-x）=f（x-$\frac{π}{4}$），则函数g（x）=f（$\frac{3π}{4}$-x）=f（x-$\frac{π}{4}$）．
故g（x）可以看成把f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位得到的，即x=$\frac{π}{2}$是g（x）的图象的一个对称轴．
由于g（$\frac{π}{2}$）=f（$\frac{π}{4}$）对应g（x）的最小值，而对称轴和对称中心最少相差$\frac{1}{4}$T=$\frac{π}{2}$，故（0，0）和（π，0）是g（x）的对称中心，
故选：B．

点评 本题主要考查三角函数的图象的对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．