Question

如图，A为椭圆

x2

a2

+

y2

b1

=1（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F₁、F₂，当AC垂直于x轴时，恰好有AF₁：AF₂=3：1．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设

AF1

=λ₁

F1B

，

AF2

=λ₂

F2C

．
①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时，求λ₁+λ₂的值；
②当A点为该椭圆上的一个动点时，试判断是λ₁+λ₂否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设|AF₁|=m，则|AF₂|=3m．
由题设及椭圆定义得

(3m)2-m2=4c2 3m+m=2a

，
消去m得a²=2c²，所以离心率

2

2

．
（Ⅱ）设A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
则

AF1

=（-C-x₀，-y₀），

F1

B=（x₁+C，y₁）
∵

AF1

=λ₁

F1B

，∴x₁=-

c+x0

λ1

-c，y₁=-

y0

λ1

又x₀²+2y₀²=2c²①，x₁²+2y₁²=2c²②，
将x₁，y₁代入②得：
（

c+x0

λ1

+c）²+2（

y0

λ1

）²=2c²即（c+x₀+cλ₁）²=2y²₀=2λ₁c²③；
③-①得：2x₀=cλ₁-3c；
同理：由

AF2

=λ₂

F2C

．得2x₀=-cλ₂+3c；
∴cλ₁-3c=-cλ₂+3c，
∴λ₁+λ₂=6．