Question

18．已知点（$\frac{π}{4}$，1）在函数f（x）=2asinxcosx+cos2x的图象上．
（Ⅰ） 求a的值和f（x）最小正周期；
（Ⅱ） 求函数f（x）在（0，π）上的单调减区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，图象过点（$\frac{π}{4}$，1），可得a的值．利用周期公式求函数的最小正周期．
（Ⅱ）将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；根据k的取值，即可得x在（0，π）的减区间．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=2asinxcosx+cos2x．
化解可得：f（x）=asin2x+cos2x．
∵图象过点（$\frac{π}{4}$，1），
即1=asin$\frac{π}{2}$+cos$\frac{π}{2}$
可得：a=1．
∴f（x）=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）
∴函数的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（Ⅱ）由2kπ+$\frac{π}{2}≤$2x+$\frac{π}{4}$$≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z．
可得：$kπ+\frac{π}{8}$≤x≤$\frac{5π}{8}+kπ$，k∈Z．
函数f（x）的单调减区间为[$kπ+\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}+kπ$]，k∈Z．
∵x∈（0，π）．
当k=0时，可得单调减区间为[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]．
函数f（x）在（0，π）上的单调减区间为[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．