Question

如图，、为圆柱的母线，是底面圆的直径，、分别是、的中点，．
（1）证明：；
（2）求四棱锥与圆柱的体积比；
（3）若，求与面所成角的正弦值．

Answer 1

解：（1）证明：连结，.分别为的中点，∴.
又，且.∴四边形是平行四边形，
即. ∴.   ………………………4分
（2）由题，且由（1）知.∴，∴ ，∴.
因是底面圆的直径，得，且，
∴，即为四棱锥的高．设圆柱高为，底半径为，
则，
∴：. ………………………9分
（3）解一：由(1)(2)可知，可分别以为坐标轴建立空间直角标系，如图
设，则，，，从而，
，由题，是面的法向量，设所求的角为.
则. …………………14分
解二：作过的母线，连结，则是上底面圆的直径，连结，
得，又，∴，连结，
则为与面所成的角，设，则
，.……12分
在中，

略