【题目】某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务(货物全部用统一规格的包装箱包装),现统计了最近100天内每天可配送的货物量,按照可配送货物量T(单位:箱)分成了以下几组:,
,
,
,
,
,并绘制了如图所示的频率分布直方图(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表,将频率视为概率).
(1)该物流公司负责人决定用分层抽样的方法从前3组中随机抽出11天的数据来分析可配送货物量少的原因,并从这11天的数据中再抽出3天的数据进行财务分析,求这3天的数据中至少有2天的数据来自这一组的概率.
(2)由频率分布直方图可以认为,该物流公司每日的可配送货物量T(单位:箱)服从正态分布,其中
近似为样本平均数.
(ⅰ)试利用该正态分布,估计该物流公司2000天内日货物配送量在区间内的天数(结果保留整数).
(ⅱ)该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为公司装卸货物的员工制定了两种不同的工作奖励方案.
方案一:直接发放奖金,按每日的可配送货物量划分为以下三级:时,奖励50元;
,奖励80元;
时,奖励120元.
方案二:利用抽奖的方式获得奖金,其中每日的可配送货物量不低于时有两次抽奖机会,每日的可配送货物量低于
时只有一次抽奖机会,每次抽奖的奖金及对应的概率分别为
奖金 | 50 | 100 |
概率 |
小张恰好为该公司装卸货物的一名员工,试从数学期望的角度分析,小张选择哪种奖励方案对他更有利?
附:若,则
,
.
【答案】(1)(2)(ⅰ)
天(ⅱ)小张选择方案二更有利
【解析】
(1)由分层抽样知识可知,这11天中前3组的数据分别有1个,4个,6个,即可求得相应的概率;
(2)(ⅰ)由,可得
的值,得到日货物配送量在区间
内的天数;(ⅱ)由
,方案一,设小张每日可获得的奖金为
的可能取值,求得期望值;方案二,设小张每日可获得的奖金为
的所有可能取值,求得相应的概率,得出分布列,利用公式求得数学期望,比较两个期望值的大小,即可求解.
(1)由分层抽样知识可知,这11天中前3组的数据分别有1个,4个,6个,
所以至少有2天的数据来自这一组的概率概率为
.
(2)(ⅰ)由题得,
所以.
故2000天内日货物配送量在区间内的天数为
.
(ⅱ)易知.
对于方案一,设小张每日可获得的奖金为元,则
的可能取值为50,80,120,
其对应的概率分别为0.25,0.6,0.15,
故.
对于方案二,设小张每日可获得的奖金为元,则
的所有可能取值为50,100,150,200,
故,
,
,
.
所以的分布列为
50 | 100 | 150 | 200 | |
所以.
因为,
所以从数学期望的角度看,小张选择方案二更有利.
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【题目】在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),在以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
的方程为
.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)设曲线与直线
交于点
,点
的坐标为(3,1),求
.
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【题目】已知,
为椭圆
的左、右顶点,
为其右焦点,
是椭圆
上异于
,
的动点,且
面积的最大值为
.
(1)求椭圆的方程及离心率;
(2)直线与椭圆在点
处的切线交于点
,当点
在椭圆上运动时,求证:以
为直径的圆与直线
恒相切.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线在平面直角坐标系
下的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线的普通方程及极坐标方程;
(2)直线的极坐标方程是
,射线
:
与曲线
交于点
与直线
交于点
,求线段
的长.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
为参数且
,
,
,曲线
的参数方程为
为参数),以
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求的普通方程及
的直角坐标方程;
(2)若曲线与曲线
分别交于点
,
,求
的最大值.
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【题目】在边长为2的等边三角形中,点
分别是边
上的点,满足
且
,(
),将
沿直线
折到
的位置.在翻折过程中,下列结论不成立的是( )
A.在边上存在点
,使得在翻折过程中,满足
平面
B.存在,使得在翻折过程中的某个位置,满足平面
平面
C.若,当二面角
为直二面角时,
D.在翻折过程中,四棱锥体积的最大值记为
,
的最大值为
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【题目】如图①:在平行四边形中,
,
,将
沿对角线
折起,使
,连结
,得到如图②所示三棱锥
.
(1)证明:平面
;
(2)若,二面角
的平面角的正切值为
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
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【题目】
在某次考试中,从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析,两个班成绩的茎叶图如图所示,成绩不小于90分的为及格.
(1)用样本估计总体,请根据茎叶图对甲乙两个班级的成绩进行比较.
(2)求从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人,已知有人及格的条件下乙班同学不及格的概率;
(3)从甲班10人中抽取一人,乙班10人中抽取二人,三人中及格人数记为X,求X的分布列和期望.
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【题目】教材曾有介绍:圆上的点
处的切线方程为
。我们将其结论推广:椭圆
上的点
处的切线方程为
,在解本题时可以直接应用。已知,直线
与椭圆
有且只有一个公共点.
(1)求的值;
(2)设为坐标原点,过椭圆
上的两点
、
分别作该椭圆的两条切线
、
,且
与
交于点
。当
变化时,求
面积的最大值;
(3)在(2)的条件下,经过点作直线
与该椭圆
交于
、
两点,在线段
上存在点
,使
成立,试问:点
是否在直线
上,请说明理由.
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