Question

三棱锥P-ABC中中，顶点P中在底面ABC中内的射影为O中，若
（1）三条侧棱与底面所成的角相等，
（2）三条侧棱两两垂直，
（3）三个侧面与底面所成的角相等；
则点O中依次为垂心、内心、外心的条件分别是（　　）

• A、（1）（2）（3）
• B、（3）（2）（1）
• C、（2）（1）（3）
• D、（2）（3）（1）

Answer 1

考点：三角形五心

专题：空间位置关系与距离

分析：三棱锥P-ABC中中，顶点P中在底面ABC中内的射影为O，若三条侧棱与底面所成的角相等，则O是△ABC的外心；若三条侧棱两两垂直，则O是△ABC是垂心；若三个侧面与底面所成的角相等，则O是△ABC的内心．

解答： 解：三棱锥P-ABC中中，顶点P中在底面ABC中内的射影为O，
（1）若三条侧棱与底面所成的角相等，
则△POA≌△POB≌△POC，
∴OA=OB=OC，
∴O是△ABC的外心．
（2）若三条侧棱两两垂直，
则PA、PB、PC两两垂直，
连结AO，延长并BC于D，连结BO并延长并AC于E，
∵AP⊥BP⊥CP，
BP∩CP=P，
∴AP⊥平面BCP，
∵BC∈平面BCP，
∴AP⊥BC，
∵OP⊥平面ABC，BC∈平面ABC，
∴BC⊥OP，
∵AP∩OP=P，
∴BC⊥平面PAD，
∵AD∈平面PAD，
∴BC⊥AD，
同理AC⊥BE，
∴AD和BE分别是BC边、AC边上的高，
∴O是两高的交点，∴O是△ABC是垂心．
（3）若三个侧面与底面所成的角相等，
则分别作三个侧面△的斜高，
由三垂线定理，得OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
则∠PDO、∠PEO、∠PFO分别是三侧面与底面所成二面角的平面角，
∠PDO=∠PEO=∠PFO，
∵OD=OP•cot∠PDO，
OE=OP•cot∠PEO，
OF=OP•cot∠PFO，
∴OD=OE=OF，
∴O是△ABC的内心．
故选：D．

点评：本题考查三角形的垂心、内心、外心的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意三垂线定理的合理运用．