Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx．若y=f（x）的导数f′（x）对x∈[-1，1]都有f′（x）≤2，则

b

a-1

的范围（　　）

• A、（-2，1]
• B、（-∞，-2）∪[1，+∞）
• C、（

  1

  2

  ，1]
• D、[-2，

  1

  2

  ]

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：因为导函数x∈[-1，1]都有f′（x）≤2得到f′（1）和f′（-1）都小于等于2，联立构成不等式组，在平面直角坐标系中画出组成的区域如图阴影部分，设z等于

b

a-1

，则z表示阴影部分中任意一点（a，b）与（1，0）连线的斜率，根据图形可得出z的取值范围．

解答： 解：f′（x）=3x²+2ax+b
由

f′(-1)=3-2a+b≤2 f′(1)=3+2a+b≤2

 得

2a-b-1≥0 2a+b+1≤0

不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：
由

2a-b-1=0 2a+b=1=0

得

a=0 b=-1

，∴Q点的坐标为（0，-1）．
设z=

b

a-1

，则z表示平面区域内的点（a，b）与点P（1，0）连线的斜率．
∵K_PQ=1，由图可知z≥1或z＜-2，
即 z=

b

a-1

∈（-∞，-2）∪（1，+∞）
故选：B．

点评：本题考查了会利用导函数的正负确定原函数的单调区间，掌握函数取极值时所满足的条件，以及会进行简单的线性规划，是一道中档题．