Question

14．数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2，且满足a_n+2-2a_n+1+a_n=0．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设s_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求s_n；
（3）令${b_n}=（3n-9+{a_n}）•{（\frac{10}{11}）^n}$，试问数列{b_n}有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由a_n+2-2a_n+1+a_n=0（ n∈N^*），变形为a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，可知{a_n}为等差数列，由已知利用通项公式即可得出，
（2）令a_n=10-2n≥0，解得n≤5．令T_n=a₁+a₂+…+a_n=9n-n²．可得当n≤5时，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=T_n，n≥6时，S_n=a₁+a₂+…+a₅-a₆-a₇…-a_n=T₅-（T_n-T₅）=2T₅-T_n即可得出，
（3）要想判断一个数列有无最大项，可以判断数列的单调性，如果数列的前n项是递增的，从n+1项开始是递减的，则b_n（b_n+1）即为数列的最大项，故我们可以判断构造b_n+1-b_n的表达式，然后进行分类讨论，给出最终的结论．

解答 解：（1）∵a_n+2-2a_n+1+a_n=0（ n∈N^*）
∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
∴{a_n}为等差数列，设公差为d，
由a₁=8，a₄=2可得2=8+3d，解得d=-2，
∴a_n=8-2（n-1）=10-2n．
（2）令a_n=10-2n≥0，解得n≤5．
令T_n=a₁+a₂+…+a_n=$\frac{1}{2}$n（8+10-2n）=9n-n²．
∴当n≤5时，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=T_n=9n-n²，
n≥6时，S_n=a₁+a₂+…+a₅-a₆-a₇…-a_n=T₅-（T_n-T₅）=2T₅-T_n=n²-9n+40．
故S_n=$\left\{\begin{array}{l}{9n-{n}^{2}，n≤5}\\{{n}^{2}-9n+40，n≥6}\end{array}\right.$，
（3）：${b_n}=（3n-9+{a_n}）•{（\frac{10}{11}）^n}$=（n+1）•（$\frac{10}{11}$）ⁿ，
∵b_n+1-b_n=（n+2）（$\frac{10}{11}$）ⁿ⁺¹-（n+1）（$\frac{10}{11}$）ⁿ
=$\frac{9-n}{11}$•（$\frac{10}{11}$）ⁿ，
∴当n＜9时，b_n+1-b_n＞0，即b_n+1＞b_n；
当n=9时，b_n+1-b_n=0，即b_n+1=b_n；
当n＞9时，b_n+1-b_n＜0，即b_n+1＜b_n；
故b₁＜b₂＜b₃＜…＜b₉=b₁₀＞b₁₁＞b₁₂＞…．
∴数列{b_n}有最大项b₉或b₁₀，
其值为10•（$\frac{10}{11}$）⁹，其项数为9或10．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、含有绝对值的数列的前n项和的求法、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题．