Question

已知函数f（x）=alnx-4x，g（x）=-x²-3．
（Ⅰ）求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若存在x₀∈[e，e²]，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）h（x）=alnx+x²-4x+3，求导数，分类讨论，确定单调性，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=alnx-4x，
∴f′（x）=

a

x

-4，…（1分）
∴f′（1）=a-4，…（2分）
故切线方程为y=（a-4）x-a；                           …（4分）
（Ⅱ）h（x）=alnx+x²-4x+3，
∴h′（x）=

2x2-4x+a

x

，…（5分）
①若△=16-8a≤0，即a≥2，则h′（x）≥0，
则h（x）在（1，+∞）上单调递增，又h（1）=0，不符舍去．       …（7分）
②若△＞0，则a＜2，
令h′（x）＞0得x＞1+

4-2a

2

，令h′（x）＜0得0＜x＜1+

4-2a

2

，
则h（x）在（0，1+

4-2a

2

）上单调递减，在（1+

4-2a

2

，+∞）单调递增，…（9分）
又h（1）=0，则必有h（e）＜0，…（10分）
即a+e²-4e+3＜0，
∴a＜-e²+4e-3．                                     …（12分）

点评：本题主要考查了函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．