Question

已知数集A={a₁，a₂，…，a_n}（0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2，n∈N^*）具有性质P：?i，j（1≤i≤j≤n），a_i+a_j与a_j-a_i两数中至少有一个属于A．
（1）分别判断数集{1，2，3，4}是否具有性质P，并说明理由；
（2）证明：a₁=0；
（3）证明：当n=5时，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅成等差数列．

Answer 1

考点：等差数列的性质,集合的包含关系判断及应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由4+4与4-4均不属于数集{1，2，3，4}，可得该数集不具有性质P；
（2）可得a_n+a_n与a_n-a_n中至少有一个属于A，而a_n+a_n∉A，只有a_n-a_n∈A，可得结论；
（3）当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a_i+a₅＞a₅，由A具有性质P，结合等差数列的定义逐步可得．

解答： 证明：（1）∵4+4与4-4均不属于数集{1，2，3，4}，∴该数集不具有性质P；
（2）∵A={a₁，a₂，…，a_n}具有性质P，∴a_n+a_n与a_n-a_n中至少有一个属于A，
又∵a_n+a_n＞a_n，∴a_n+a_n∉A，∴a_n-a_n∈A，即0∈A，
又a₁≥0，a₂＞0，∴a₁=0；
（3）当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a_i+a₅＞a₅，
由A具有性质P，a₅-a_i∈A，又i=1时，a₅-a₁∈A，
∴a₅-a_i∈A，i=1，2，3，4，5
∵0=a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，∴a₅-a₁＞a₅-a₂＞a₅-a₃＞a₅-a₄＞a₅-a₅=0，
则a₅-a₁=a₅，a₅-a₂=a₄，a₅-a₃=a₃，
从而可得a₂+a₄=a₅，a₅=2a₃，故a₂+a₄=2a₃，即0＜a₄-a₃=a₃-a₂＜a₃，
又∵a₃+a₄＞a₂+a₄=a₅，∴a₃+a₄∉A，则a₄-a₃∈A，则有a₄-a₃=a₂=a₂-a₁．
又∵a₅-a₄=a₂=a₂-a₁，∴a₅-a₄=a₄-a₃=a₃-a₂=a₂-a₁=a₂，
即a₁，a₂，a₃，a₄，a₅是首项为0，公差为a₂的等差数列．

点评：本题主要考查集合、等差数列的性质，考查运算能力、推理论证能力，属中档题．