Question

【题目】已知正三棱锥P-ABC，Q为BC中点，，，则正三棱锥P-ABC的外接球的半径为________；过Q的平面截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积范围为________．

Answer 1

【答案】

【解析】

根据正三棱锥，，，有，即，同理，，则此正三棱锥P-ABC为正方体的一角，根据球的直径为正方体的体对角线的长求解.根据当截面过球心时，截面面积最大，当球心与Q的连线垂直截面时，截面面积最小求截面的面积范围.

因为正三棱锥，，，

所以，即，

同理，，

因此正三棱锥P-ABC可看作正方体的一角，如图，

记正方体的体对角线的中点为O，由正方体结构特征可得，O点即是正方体的外接球球心，

所以点O也是正三棱锥P-ABC外接球的球心，

记外接球半径为R，则，

因为球的最大截面圆为过球心的圆，

所以过Q的平面截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积最大为；

又Q为BC中点，由正方体结构特征可得；

由球的结构特征可知，当OQ垂直于过Q的截面时，

截面圆半径最小为，所以．

因此，过Q的平面截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积范围为．

故答案为：(1). (2).