Question

【题目】已知函数.

（1）若有两个不同的极值点，，求实数的取值范围；

（2）在（1）的条件下，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）由得，根据有两个不同的极值点，，则有两个不同的零点，即方程有两个不同的实根，转化为直线与的图象有两个不同的交点求解.

（2）由（1）知，设，则，由得，，要证，将 代入整理为，再令，转化为，再构造函数，研究其最大值即可.

（1）由得，

有两个不同的极值点，，则有两个不同的零点，

即方程有两个不同的实根，

即直线与的图象有两个不同的交点，

设，则，

时，单调递增，且的取值范围是；

时，单调递减，且的取值范围是，

所以当时，直线与的图象有两个不同的交点，

有两个不同的极值点，，

故实数的取值范围是.

（2）由（1）知，设，则，

由得，

所以要证，只需证，

即证，即证，

设，即证，即证，

设，则，

所以在是增函数，，

所以，从而有.