Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM=EF
（1）证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；
（2）若PA=3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）利用矩形，以及直线与直线的判定定理证明AM⊥MF，MF⊥PC，推出MF是AB与PC的公垂线．
（II）连接BD交AC于O，连接BE，过O作BE的垂线OH，垂足H在BE上．推出OH⊥面MAE．连接AH，说明∠HAO是所要求的线AC与面NAE所成的角设AB=a，在Rt△AHO中，求出sin∠HAO．即可．

解答：（I）证明：因PA⊥底面，有PA⊥AB，又知AB⊥AD，
故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE，
又AM∥CD∥EF，且AM=EF，
证得AEFM是矩形，故AM⊥MF．
又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD，
而MF∥AE，得MF⊥面PCD，
故MF⊥PC，
因此MF是AB与PC的公垂线．
（II）解：连接BD交AC于O，连接BE，过O作BE的垂线OH，
垂足H在BE上．
易知PD⊥面MAE，故DE⊥BE，
又OH⊥BE，故OH∥DE，
因此OH⊥面MAE．
连接AH，则∠HAO是所要求的线AC与面NAE所成的角
设AB=a，则PA=3a，AO=

1

2

AC=

2

2

a．
因Rt△ADE～Rt△PDA，故
ED=

AD2

PD

=

a2

a2+(3a)2

=

a

10

，
OH=

1

2

ED=

a

2 10

．
从而在Rt△AHO中
sinHAO=

OH

AO

=

a

2 10

×

2

2 a

=

1

20

=

5

10

．

点评：本题是中档题，考查异面直线的公垂线的证明，直线与平面所成角的正弦值的求法，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．