Question

已知函数f(x)=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

．
（1）若f（x）的最小值为-2，求实数k的值；
（2）若不存在实数组x₁，x₂，x₃满足不等式f（x₁）+f（x₂）≤f（x₃），求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）化简函数，对k进行讨论，利用f（x）的最小值为-2，即可求实数k的值；
（2）由题意，f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）对任意x₁，x₂，x₃∈R恒成立，分类讨论，可求实数k的取值范围．

解答：解：（1）f(x)=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

=1+

k-1

2x+ 1 2x +1

，
令t=2x+

1

2x

+1≥3，则y=1+

k-1

t

(t≥3)，
当k＞1时，y∈(1，

k+2

3

]，无最小值，舍去；
当k=1时，y=1最小值不是-2，舍去；
当k＜1时，y∈[

k+2

3

，1)，最小值为

k+2

3

=-2⇒k=-8，
综上所述，k=-8． 4分
（2）由题意，f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）对任意x₁，x₂，x₃∈R恒成立．
当k＞1时，因2＜f(x1)+f(x2)≤

2k+4

3

且1＜f(x3)≤

k+2

3

，
故

k+2

3

≤2，即1＜k≤4；
当k=1时，f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，满足条件；
当k＜1时，

2k+4

3

≤f(x1)+f(x2)＜2且

k+2

3

≤f(x3)＜1，故1≤

2k+4

3

，-

1

2

≤k＜1；
综上所述，-

1

2

≤k≤46分．

点评：本题考查基本不等式的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．