Question

已知函数f(x)=

3x-1

3x+1

．
（1）证明f（x）为奇函数；
（2）判断f（x）的单调性，并用定义加以证明．

Answer 1

分析：（1）直接检验f（-x）与f（x）的关系即可进行判断
（2）先设x₁＜x₂，然后利用作差法比较f（x₁）与f（x₂）的大小即可

解答：解：（1）证明：函数的定义域为R
∵f（-x）=

3-x-1

3-x+1

=

1-3x

1+3x

=-f（x）
∴f（x）为奇函数
（2）在定义域上是单调增函数；
设x₁＜x₂
∵f(x)=

3x-1

3x+1

=1-

2

3x+1

，
∴f（x₁）-f（x₂）=

2

3x2+1

-

2

3x1+1

=

2(3x1-3x2)

(1+3x1)(1+3x2)

∵x₁＜x₂
∴0＜3x1＜3x2
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）单调递增

点评：本题主要考查了 函数的奇偶性及函数的单调性的简单应用，解题的关键是熟练掌握基本定义