Question

设函数f(x)=lg(

2

x+1

-1)的定义域为集合A，函数g(x)=

1-a2-2ax-x2

的定义域为集合B．
（I）求f(

1

2013

)+f(-

1

2013

)的值；
（II）求证：a≥2是A∩B=∅的充分非必要条件．

Answer 1

分析：（I）判断函数f（x）的奇偶性，进而根据奇偶性可得f(

1

2013

)+f(-

1

2013

)的值；
（II）分别求出A，B，分别讨论是a≥2⇒A∩B=∅与A∩B=∅⇒a≥2的真假，进而根据充要条件的定义可证得结论．

解答：解：（I）由题意得A={x|

2

x+1

-1＞0}={x|

x-1

x+1

＜0}=（-1，1）
又∵f(x)=lg(

2

x+1

-1)=lg(

1-x

x+1

)，
∴f（-x）=lg(

1+x

-x+1

)=lg(

1-x

x+1

)-1=-lg(

1-x

x+1

)=-f（x）
∴f（x）是奇函数
∴f(

1

2013

)+f(-

1

2013

)=0
（II）B={x|1-a²-2ax-x²≥0}=[-1-a，1-a]
当a≥2时，1-a≤-1，此时A∩B=∅
当A∩B=∅时，1-a≤-1，或-1-a≥1，即a≥2，或a≤-2
故a≥2是A∩B=∅的充分非必要条件

点评：本题考查的知识点是充要条件，函数求值，函数的奇偶性，集合之间的关系，其中（I）的关键是判断出函数的奇偶性，（II）的关键是真正理解A∩B=∅的含义．