Question

下列结论：
①函数y=tan

x

2

在区间（-π，π）上是增函数；
②当x∈（1，+∞）时，函数y=x 

1

2

，y=x²的图象都在直线y=x的上方；
③定义在R上的奇函数f（x），满足f（x+2）=-f（x），则f（6）的值为0；
④若函数f（x）=-丨x丨，若f（-m²-1）＜f（2），则实数m∈（-∞，-1）∪（1，+∞）；
其中所有正确结论的序号为

①③④

．

Answer 1

分析：①利用y=tanx在区间（-

π

2

，

π

2

）上是增函数即可判断①的正误；
②在同一坐标系中作出y=x 

1

2

，y=x²与y=x的图象，即可判断其正误；
③利用函数的周期性即可判断；
④利用函数的奇偶性与单调性，通过解不等式m²+1＞2即可作出判断．

解答：解：①∵y=tanx在区间（-

π

2

，

π

2

）上是增函数，
由-

π

2

＜

x

2

＜

π

2

得：x∈（-π，π），
∴函数y=tan

x

2

在区间（-π，π）上是增函数，①正确；
②作出函数y=x 

1

2

，y=x²与y=x的图象，可知②错误；
③∵f（x）为R上的奇函数，
∴f（0）-0；
f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）是以4为周期的函数，
∴f（6）=f（4+2）=f（2）=f（0）=0，故③正确；
④∵函数f（-x）=-丨-x丨=-|x|=f（x），
∴f（x）=-|x|为偶函数，
又f（x）=-|x|在（0，+∞）上单调递减，
∴由f（-m²-1）＜f（2）得：m²+1＞2，
解得m＞1或m＜-1．
故④正确．
综上所述，所有正确结论的序号为①③④．
故答案为：①③④．

点评：本题 考查函数单调性、奇偶性、周期性，考查分析推理能力，属于中档题．