【题目】设函数f(x)=x2﹣aln(x+2),g(x)=xex , 且f(x)存在两个极值点x1、x2 , 其中x1<x2 .
(1)求实数a的取值范围;
(2)求g(x1﹣x2)的最小值;
(3)证明不等式:f(x1)+x2>0.
【答案】
(1)解:由题:f′(x)=2x﹣ (x>﹣2).
∵f(x)存在两个极值点x1、x2,其中x1<x2
∴关于x的方程2x﹣ =0,即2x2+4x﹣a=0在(﹣2,+∞)内有不等实根
令S(x)=2x2+4x(x>﹣2),T(x)=a,
则﹣2<a<0,
∴实数a的取值范围是(﹣2,0)
(2)解:由(1)可知
∴g(x)=xex得g(x)=(x+1)ex
∴当x∈(﹣2,﹣1)时,g′(x)<0,即g(x)在(﹣2,﹣1)单调递减;当x∈(﹣1,0)时,g′(x)>0,即g(x)在(﹣1,0)单调递增
∴g(x1﹣x2)min=g(﹣1)=﹣
(3)证明:由(1)知 ,
∴ =
令﹣x2=x,则0<x<1且
F(x)=﹣x﹣
F′(x)=﹣1+ (0<x<1)
∴G(x)= (0<x<1)
G′(x)=﹣ =
∵0<x<1,
∴G′(x)=﹣
∵0<x<1,∴G′(x)<0,即F′(x)在(0,1)上是减函数.
∴F′(x)>F′(1)>0,
∴F(x)在(0,1)上是增函数
∴F(x)<F(1)=﹣1,即 ,即f(x1)+x2>0
【解析】(1)f(x)存在两个极值点,等价于其导函数有两个相异零点;(2)先找出(x1﹣x2)的取值范围,再利用g(x)的导函数可找出最小值;(3)适当构造函数,并注意x1与x2的关系,转化为函数求最大值问题,证明相关不等式.
【考点精析】关于本题考查的函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数,需要了解求函数的极值的方法是:(1)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值(2)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值;求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能得出正确答案.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,离心率为
的椭圆
的左顶点为
,过原点
的直线(与坐标轴不重合)与椭圆
交于
两点,直线
分别与
轴交于
,
两点.若直线
斜率为
时,
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)试问以为直径的圆是否经过定点(与直线
的斜率无关)?请证明你的结论.
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【题目】若函数满足
且
,则称函数
为“
函数”.
试判断
是否为“
函数”,并说明理由;
函数
为“
函数”,且当
时,
,求
的解析式,并写出在
上的单调递增区间;
在
条件下,当
时,关于
的方程
为常数
有解,记该方程所有解的和为
,求
.
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【题目】在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且满足 =
,
(1)求角C的大小;
(2)设函数f(x)=2sinxcosxcosC+2sin2xsinC﹣ ,求函数f(x)在区间[0,
]上的值域.
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【题目】四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥面ABCD,已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2 ,SB=SC=
.
(1)设平面SCD与平面SAB的交线为l,求证:l∥AB;
(2)求证:SA⊥BC;
(3)求直线SD与面SAB所成角的正弦值.
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【题目】设椭圆的左焦点为
,右顶点为
,离心率为
,已知点
是抛物线
的焦点,点
到抛物线准线的距离是
.
(1)求椭圆的方程和抛物线
的方程;
(2)若是抛物线
上的一点且在第一象限,满足
,直线
交椭圆于
两点,且
,当
的面积取得最大值时,求直线
的方程.
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