Question

如图，三条直线a、b、c两两平行，直线a、b间的距离为p，直线b、c间的距离为，A、B为直线a上两定点，且｜AB｜=2p，MN是在直线b上滑动的长度为2p的线段。 

（1）建立适当的平面直角坐标系，求△AMN的外心C的轨迹E；
（2）接上问，当△AMN的外心C在E上什么位置时，d+｜BC｜最小，最小值是多少？（其中d是外心C到直线c的距离）.

Answer 1

（1）x²=2py,它是以原点为顶点，y轴为对称轴，开口向上的抛物线,（2）最小值为｜BF｜=

（1）以直线b为x轴，以过A点且与b直线垂直的直线为y轴建立直角坐标系.
设△AMN的外心为C(x,y)，则有A(0,p)、M（x–p,0)，N(x+p,0)，
由题意，有｜CA｜=｜CM｜
∴,化简，得
x²=2py,它是以原点为顶点，y轴为对称轴，开口向上的抛物线.
（2）由（1）得，直线c恰为轨迹E的准线.
由抛物线的定义知d=｜CF｜，其中F（0,）是抛物线的焦点.
∴d+｜BC｜=｜CF｜+｜BC｜
由两点间直线段最短知，线段BF与轨迹E的交点即为所求的点
直线BF的方程为联立方程组
得.
即C点坐标为().
此时d+｜BC｜的最小值为｜BF｜=.