Question

8．在直角坐标系中xOy中，已知曲线E经过点P（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），其参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=acosα}\\{y=\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线E的极坐标方程；
（2）若直线l交E于点A、B，且OA⊥OB，求证：$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$为定值，并求出这个定值．

Answer 1

分析 （1）将点P（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），代入曲线E的方程，求出a²=3，可得曲线E的普通方程，即可求曲线E的极坐标方程；
（2）利用点的极坐标，代入极坐标方程，化简，即可证明结论．

解答 解：（1）将点P（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），代入曲线E的方程：$\left\{\begin{array}{l}{1=acosα}\\{\frac{2\sqrt{3}}{3}=\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$，
解得a²=3，
所以曲线E的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
极坐标方程为${ρ}^{2}（\frac{1}{3}co{s}^{2}θ+\frac{1}{2}si{n}^{2}θ）$=1；
（2）不妨设点A，B的极坐标分别为A（ρ₁，θ），B（ρ₂，$θ+\frac{π}{2}$），
则代入曲线E的极坐标方程，可得$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$=$\frac{5}{6}$，
即$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$为定值$\frac{5}{6}$．

点评 本题考查曲线方程，考查极坐标方程的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．