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如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=,BC=2,∠BAC=45°,D是AC1的中点,E是侧棱BB1上的一个动点.
(1)当E是BB1的中点时,证明:DE∥平面A1B1C1
(2)在棱BB1上是否存在点E满足,使二面角E-AC1-C是直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.

【答案】分析:(1)取A1C1中点F,连接DF,DE,B1F,利用三角形中位线的性质,可得线线平行,利用线面平行的判定,可得DE∥平面A1B1C1
(2)建立直角坐标系,求出平面A1ACC1的法向量、平面AC1E的法向量,利用数量积为0建立方程,即可求得结论.
解答:(1)证明:取A1C1中点F,连接DF,DE,B1F
∵D是AC1的中点,E是BB1的中点.
∴DF∥AA1,B1E∥AA1,DF=AA1,B1E=AA1
∴DF∥B1E,DF=B1E,所以DE∥B1F,DE=B1F…(2分)
又B1F?平面A1B1C1,所以DE∥平面A1B1C1…(4分)
(2)解:分别在两底面内作BO⊥AC于O,B1O1⊥A1C1于O1,连接OO1,则OO1∥AA1,以O为原点,OB为x轴,OC为y轴,OO1为z轴建立直角坐标系,
设AA1=t,BE=h,则λ=,A(0,-1,0),C1(0,,t),E((1,0,h).
平面A1ACC1的法向量为=(1,0,0)…(7分)
设平面AC1E的法向量为=(x,y,z)
=(1,1,h),=(0,,h)
∴由可得…(9分)
取z=1得y=,x=
…(11分)
由题知,∴=0
,∴λ==
所以在BB1上存在点E,当时,二面角E-AC1-C是直二面角.…(12分)
点评:本题考查线面平行,考查面面角,考查向量知识的运用,属于中档题.
练习册系列答案
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2
,侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的两条对角线交于点D,B1C1的中点为M,求证:CD⊥平面BDM.

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(1)求直线BE与A1C所成的角;
(2)在线段AA1中上是否存在点F,使CF⊥平面B1DF,若存在,求出|
AF
|;若不存在,说明理由.

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(Ⅲ)证明:直线A1D⊥平面ADC.

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