Question

已知函数f（x）=x²lnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）=kx-1有实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）首先考虑函数的定义域优先原则求出定义域，然后对函数求导，即可得到单调增区间，
（2）分离参数，构造函数g（x）=xlnx+

1

x

，求出函数的最小值即可．

解答： 解：（1）由题意可知函数的定义域为：（0，+∞）
f′（x）=x（2lnx+1），
令f′（x）＞0，得2lnx+1＞0，即x＞

e

e

令f′（x）＜0，得2lnx+1＜0，即0＜x＜

e

e

，
所以函数f（x）解：的递减区间是（0，

e

e

）．函数的单调增区间为（

e

e

，+∞）．
（2）由题意可得，关于x的方程f（x）=kx-1有实数解，
∴f（x）-kx+1=0，
即x²lnx-kx+1=0．
∴k=xlnx+

1

x

设g（x）=xlnx+

1

x

，
则g′（x）=lnx+

x2-1

x2

，
∴g′（1）=0，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以当x=1时，g（x）_min=g（1）=1，
所以k≥1，
故k的取值范围是[1，+∞）

点评：本题主要考查了方程的根与函数零点间的关系，构造函数解决零点存在性问题的方法，导数在函数单调性和极值中的应用，转化化归的思想方法