Question

11．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}cos（x-\frac{π}{2}），x∈[0，π]\\{log_{2015}}\frac{x}{π}，x∈（π，+∞）\end{array}$，若有三个不同的实数a，b，c，使得f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（　　）

• A． （2π，2016π）
• B． （$\frac{3π}{2}，\frac{4031π}{2}$）
• C． （2π，2015π）
• D． （π，2015π）

Answer 1

分析 首先化简函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}cos（x-\frac{π}{2}），x∈[0，π]\\{log_{2015}}\frac{x}{π}，x∈（π，+∞）\end{array}$，再分别讨论函数f（x）在两个区间上的单调性及最值，从而可确定0＜f（a）=f（b）=f（c）＜1，从而解得．

解答 解：化简函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}cos（x-\frac{π}{2}），x∈[0，π]\\{log_{2015}}\frac{x}{π}，x∈（π，+∞）\end{array}$得，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，x∈[0，π]}\\{lo{g}_{2015}\frac{x}{π}，x∈（π，+∞）}\end{array}\right.$；
故当x∈[0，π]时，
f（x）=sinx在[0，π]上先增后减，
且0≤f（x）≤1，
当且仅当x=$\frac{π}{2}$时sinx=1；
当0≤d＜1时，由sin（π-x）=sinx知，
方程sinx=d有两个不同的根，两根和为π；
当x∈（π，+∞）时，
f（x）=log₂₀₁₅$\frac{x}{π}$单调递增，
故f（x）＞log₂₀₁₅1=0，
故若有三个不同的实数a，b，c，使得f（a）=f（b）=f（c），
则0＜f（a）=f（b）=f（c）＜1，
不妨设a＜b＜c，
则由以上分析知，a+b=π，
0＜log₂₀₁₅$\frac{c}{π}$＜1；
即π＜c＜2015π；
故2π＜a+b+c＜2016π；
故选A．

点评 本题考查了分段函数及三角函数的性质应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．