Question

1．P是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一点，F是C上的右焦点，PF⊥x轴，A，B分别是椭圆C上两个顶点，且AB∥OP，则C的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 椭圆的离心率，只需求a、c的值或a、c用同一个量表示．由PF₁⊥OX，OP∥AB．易得b=c，a、c的关系．

解答 解：由题意可得PF₁=$\frac{{b}^{2}}{a}$，|OF₁|=c，|OA|=b，|OB|=a，
因为PF₁⊥OX，OP∥AB，所以$\frac{{|PF}_{1}|}{{|OF}_{1}|}=\frac{\left|OA\right|}{\left|OB\right|}$，即$\frac{{b}^{2}}{ac}=\frac{b}{a}$可得：b=c，
所以a=$\sqrt{2}$c，故e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查了椭圆的性质．要充分理解椭圆性质中的长轴、短轴、焦距、准线方程等概念及其关系．属于基础题．