Question

13．若存在满足$\frac{1}{x}$+$\frac{m}{y}$=1（m＞0）的变量x，y（x，y＞0），使得因式x+y-$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$有最大值，求m的取值范围．

Answer 1

分析 设x²+y²=R²，可得x=Rcosθ，y=Rsinθ，代入由万能公式可得x+y-$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=2[m+1-（$\frac{1}{1+t}$+$\frac{m（1+t）}{2}$）]，t=tan$\frac{θ}{2}$∈（0，1），由基本不等式和等号成立的条件可得答案．

解答 解：设x²+y²=R²（R＞0），则x=Rcosθ，y=Rsinθ，
代入$\frac{1}{x}$+$\frac{m}{y}$=1可得R=$\frac{1}{cosθ}$+$\frac{m}{sinθ}$，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴x+y-$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=R（cosθ+sinθ-1）
=（$\frac{1}{cosθ}$+$\frac{m}{sinθ}$）（cosθ+sinθ-1）
=（$\frac{1}{1-{t}^{2}}$+$\frac{m}{2t}$）[1-t²+2t-（1+t²）]，其中t=tan$\frac{θ}{2}$∈（0，1），
=2（$\frac{1}{1-{t}^{2}}$+$\frac{m}{2t}$）[t（1-t）]=2[m+1-（$\frac{1}{1+t}$+$\frac{m（1+t）}{2}$）]≤2（m+1-$\sqrt{2m}$），
当且仅当$\frac{1}{1+t}$=$\frac{m（1+t）}{2}$即m=$\frac{1}{（1+t）^{2}}$∈（$\frac{1}{2}$，2）
故m的取值范围为：（$\frac{1}{2}$，2）

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及三角换元和万能公式，属中档题．