Question

5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=$\frac{1}{4}$n²+$\frac{2}{3}$n+3，数列{log₃b_n}{n∈N^*}为等差数列，且b₁=3，b₃=27．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n-$\frac{5}{12}$，T_n=b₁c₁+b₂c₂+b₃c₃+…+b_nc_n，求T_n的值．

Answer 1

分析 （1）在数列递推式中取n=1求出首项，当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1求得通项公式，验证首项后得数列{a_n}的通项公式，再由数列{log₃b_n}{n∈N^*}为等差数列，且b₁=3，b₃=27求出等差数列的公差，代入等差数列的通项公式求得数列{log₃b_n}的通项公式，则数列{b_n}的通项公式可求；
（2）由c_n=a_n-$\frac{5}{12}$求得c_n，代入T_n=b₁c₁+b₂c₂+b₃c₃+…+b_nc_n，然后由错位相减法求得T_n的值．

解答 解：（1）当n=1时，${a}_{1}={S}_{1}=\frac{1}{4}×{1}^{2}+\frac{2}{3}×1+3=\frac{47}{12}$；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{4}$n²+$\frac{2}{3}$n+3-[$\frac{1}{4}（n-1）^{2}+\frac{2}{3}（n-1）+3$]
=$\frac{1}{4}[{n}^{2}-（n-1）^{2}]+\frac{2}{3}[n-（n-1）]$=$\frac{1}{2}n+\frac{5}{12}$，
当n=1时上式不成立，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{47}{12}，n=1}\\{\frac{1}{2}n+\frac{5}{12}，n≥2}\end{array}\right.$；
数列{log₃b_n}{n∈N^*}为等差数列，且b₁=3，b₃=27．
则公差d=$\frac{lo{g}_{3}{b}_{3}-lo{g}_{3}{b}_{1}}{2}=\frac{lo{g}_{3}\frac{{b}_{3}}{{b}_{1}}}{2}$=$\frac{lo{g}_{3}9}{2}=1$，
∴log₃b_n=log₃b₁+1×（n-1）=log₃3+n-1=n，
则${b}_{n}={3}^{n}$；
（2）c_n=a_n-$\frac{5}{12}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{7}{2}，n=1}\\{\frac{n}{2}，n≥2}\end{array}\right.$，
T_n=b₁c₁+b₂c₂+b₃c₃+…+b_nc_n
=$3×\frac{7}{2}$+$\frac{2}{2}×{3}^{2}+\frac{3}{2}×{3}^{3}+…+\frac{n}{2}×{3}^{n}$
=$\frac{21}{2}$+$\frac{2}{2}×{3}^{2}+\frac{3}{2}×{3}^{3}+…+\frac{n}{2}×{3}^{n}$，
令R_n=$\frac{2}{2}×{3}^{2}+\frac{3}{2}×{3}^{3}+…+\frac{n}{2}×{3}^{n}$，
则$3{R}_{n}=\frac{2}{2}×{3}^{3}+\frac{3}{2}×{3}^{4}+…+$$\frac{n-1}{2}×{3}^{n}+\frac{n}{2}×{3}^{n+1}$，
两式作差得：$-2{R}_{n}={3}^{2}+\frac{1}{2}（{3}^{3}+{3}^{4}+…+{3}^{n}）-\frac{n}{2}×{3}^{n+1}$
=$9+\frac{1}{2}×\frac{27（1-{3}^{n-2}）}{1-3}-\frac{n}{2}×{3}^{n+1}$=$9+\frac{1}{4}（{3}^{n+1}-27）-\frac{n}{2}×{3}^{n+1}$，
∴${R}_{n}=（\frac{n}{4}-\frac{1}{8}）•{3}^{n+1}-\frac{9}{8}$．
则${T}_{n}=（\frac{n}{4}-\frac{1}{8}）•{3}^{n+1}+$$\frac{75}{8}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等差数列的通项公式，考查了对数的运算性质，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．