Question

10．求证：对任意α，β有cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ和cos2α=2cos²α-1．

Answer 1

分析 在直角坐标系xoy中作单位圆O，并作角α，β和-β，使角α的始边为Ox，交圆O于点A，终边交圆O于点B；角β始边为OB，终边交圆O于点C；角-β始边为Ox，终边交圆O于点．从而可求点A，B，C和D的坐标，由两点间距离公式分别求出AC²，BD²，由AC=BD，即可证明cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，利用此结论即可证明cos2α=2cos²α-1．

解答 证明：如图所示，在直角坐标系xoy中作单位圆O，并作角α，β和-β，使角α的始边为Ox，交圆O于点 A，终边交圆O于点 B；角β始边为OB，终边交圆O于点 C；角-β始边为 Ox，终边交 圆O于点．从而点 A，B，C和 D的坐标分别为A（1，0），B（cosα，sinα），C（cos（α+β），sin（α+β）），D（cosβ，-sinβ）．
由两点间距离公式得：
AC²=（cos（α+β）-1）²+sin²（α+β）=2-2cos（α+β）；
BD²=（cosβ-cosα）²+（-sinβ-sinα）²=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ）．
注意到AC=BD，因此cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ．①
由①可得：cos2α=cos（α+α）=cosαcosα-sinαsinα=cos²α-sin²α=cos²α-（1-cos²α）=2cos²α-1．从而得证．

点评 本题主要考查了两点间距离公式，单位圆，任意角的三角函数的定义的应用，属于基本知识的考查．