Question

17．已知{a_n}是等差数列．
（1）2a₅=a₃+a₇是否成立？2a₅=a₁+a₉呢？为什么？
（2）2a_n=a_n-1+a_n+1（n＞1）是否成立？据此你能得出什么结论？
2a_n=a_n-k+a_n+k（n＞k＞0）是否成立？你又能得出什么结论？

Answer 1

分析 （1）设出等差数列的首项和公差，由等差数列的通项公式求得2a₅=a₃+a₇，2a₅=a₁+a₉；
（2）由等差数列的通项公式分别求得2a_n=a_n-1+a_n+1（n＞1），2a_n=a_n-k+a_n+k（n＞k＞0）由等式的特点得到等差数列的一般性结论．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
则a₅=a₁+4d，a₃=a₁+2d，a₇=a₁+6d，a₉=a₁+8d，
∴2a₅=2a₁+8d，a₃+a₇=2a₁+8d，a₁+a₉=2a₁+8d．
则2a₅=a₃+a₇；2a₅=a₁+a₉；
（2）2a_n=2[a₁+（n-1）d]=2a₁+2（n-1）d，
a_n-1+a_n+1=a₁+（n-1-1）d+a₁+（n+1-1）d=2a₁+2（n-1）d，
∴2a_n=a_n-1+a_n+1（n＞1）成立．
由此可知，在有穷等差数列中，除首项和末项外，每一项都是它前后两项的等差中项；
2a_n=2[a₁+（n-1）d]=2a₁+2（n-1）d，
a_n-k+a_n+k=a₁+（n-k-1）d+a₁+（n+k-1）d=2a₁+2（n-1）d，
∴2a_n=a_n-k+a_n+k（n＞k＞0）成立．
由此可知，在有穷等差数列中，除首项和末项外，每一项都是距它等距离两项的等差中项．

点评 本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，关键是对规律的理解与与记忆，是中档题．