Question

19．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=-1，S_n=2a_n+n（n∈N^*），则a_n=1-2ⁿ．

Answer 1

分析 根据数列a_n=S_n-S_n-1，构造方程组，将数列的递推关系进行化简，然后利用构造法构造一个等比数列，利用等比数列的通项公式即可得到结论．

解答 解：∵S_n=2a_n+n，
∴当n≥2时，S_n-1=2a_n-1+n-1，
两式相减得S_n-S_n-1=2a_n+n-（2a_n-1+n-1），
即a_n=2a_n-2a_n-1+1，
即a_n=2a_n-1-1，
即a_n-1=2a_n-1-1-1=2（a_n-1-1），
故数列{a_n-1}是公比q=2，首项为a₁-1=-1-1=-2的等比数列，
则a_n-1=-2•2^n-1=-2ⁿ，
故a_n=1-2ⁿ，
故答案为：1-2ⁿ．

点评 本题主要考查数列通项公式的求解，根据条件构造等比数列是解决本题的关键．