Question

9．已知x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x+y-1≥0\\ x-y-1≤0\\ y≤2\end{array}\right.$时．则$\frac{x+2y+5}{x-1}$的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$]
• B． （-∞，-$\frac{5}{2}$]∪[$\frac{5}{2}$，+∞）
• C． [-4，6]
• D． （-∞，-4]∪[6，+∞）

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义进行求解即可．

解答 解：$\frac{x+2y+5}{x-1}$=$\frac{x-1+2（y+3）}{x-1}$=1+2•$\frac{y+3}{x-1}$，
设z=1+2•$\frac{y+3}{x-1}$，k=$\frac{y+3}{x-1}$，
则k的几何意义是区域内的点与点D（1，-2）的斜率，
作出不等式组对应的平面区域如图3
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x+y-1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（-1，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（3，2），
则DB的斜率k=$\frac{2+3}{3-1}$=$\frac{5}{2}$
DA的斜率为k=$\frac{2+3}{-1-1}=-\frac{5}{2}$，
由图象知k≥$\frac{5}{2}$或k≤-$\frac{5}{2}$，
则2k≥5或2k≤-5，
即1+2k≥6或1+2k≤-4，
即z≥6或z≤-4，
故选：D．

点评 本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的求解，利用数形结合是解决本题的关键．