Question

14．设点P是函数y=x+$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象上任意一点，过点P分别向直线y=x和y轴作垂线，垂足分别为A，B，则$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=-2．

Answer 1

分析 设P（x，x+$\frac{4}{x}$）（x＞0），可得|PA|、|PB|，由O、A、P、B四点共圆，可得∠APB=$\frac{3π}{4}$，由数量积定义可求．

解答 解：设P（x，x+$\frac{4}{x}$）（x＞0），则点P到直线y=x和y轴的距离分别为：
|PA|=$\frac{|\begin{array}{l}{x-（x+\frac{4}{x}）}\end{array}|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{x}$，|PB|=x．
∵O、A、P、B四点共圆，所以∠APB=π-∠AOB=$\frac{3π}{4}$，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$\frac{2\sqrt{2}}{x}$•x•cos$\frac{3π}{4}$=-2，
故答案为：-2．

点评 本题考查平面向量数量积的运算，涉及点到直线的距离公式和四点共圆的性质，属中档题．