Question

5．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，0），B（4，3），若A，B，C三点按逆时针方向排列构成等边三角形ABC，且直线BC与x轴交于点D．
（1）求cos∠CAD的值；
（2）求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）由条件求得cos∠BAD 和sin∠BAD 的值，再根据cos∠CAD=cos（60°+∠BAD ），利用两角和的余弦公式求得结果．
（2）设点C的坐标为（a，b），求得$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AB}$对应的复数，再根据两个复数乘积的几何意义，求得a、b的值，即可得到点C的坐标．

解答 解：（1）由题意可得等边三角形的边长AB=5，cos∠BAD=$\frac{4}{5}$，
sin∠BAD=$\frac{3}{5}$，
∴cos∠CAD=
cos（60°+∠BAD ）=
cos60°cos∠BAD
-sin60°sin∠BAD
=$\frac{1}{2}•\frac{4}{5}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{3}{5}$=$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$．
（2）设点C的坐标为（a，b），则$\overrightarrow{AC}$对应的复数为a+bi，
$\overrightarrow{AB}$对应的复数为4+3i，
由A，B，C三点按顺时针方向排列构成等边三角形ABC，
可得a+bi=（4+3i）（cos60°+isin60°）=2-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+（$\frac{3}{2}$+2$\sqrt{3}$）i，
∴a=2-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，b=$\frac{3}{2}$+2$\sqrt{3}$，故点C的坐标为（ 2-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，b=$\frac{3}{2}$+2$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的余弦公式，两个复数乘积的几何意义，属于中档题．