Question

15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$b=2\sqrt{5}$，$B=\frac{π}{4}$，$cosC=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△ABC中，0＜C＜π，且$cosC=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，可得sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$．再利用正弦定理可得$\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}$，解出即可；
（II）利用余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，0＜C＜π，且$cosC=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∵$\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}$，且 $b=2\sqrt{5}$，$B=\frac{π}{4}$，
∴$c=\frac{bsinC}{sinB}=\frac{{2\sqrt{5}×\frac{{\sqrt{5}}}{5}}}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}=2\sqrt{2}$．
∴$c=2\sqrt{2}$．  
（Ⅱ）∵b²=a²+c²-2accosB，
∴a²-4a-12=0，
∴a=6或a=-2（舍）．
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=6$．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．