Question

3．已知函数f（x）=cos²$\frac{ωx}{2}$+$\sqrt{3}$sin$\frac{ωx}{2}$cos$\frac{ωx}{2}$-$\frac{1}{2}$（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 先利用倍角公式及两角和的正弦公式将函数f（x）化成标准形式，然后利用周期公式求出ω的值，根据正弦函数的最值求出函数f（x）的最大值和最小值；根据正弦函数的单调区间求出函数f（x）的单调区间．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=cos²$\frac{ωx}{2}$+$\sqrt{3}$sin$\frac{ωx}{2}cos\frac{ωx}{2}$-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1+cosωx}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}sinωx-\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinωx+\frac{1}{2}cosωx$=sin（$ωx+\frac{π}{6}$）．
因为T=$\frac{2π}{|ω|}=π$，ω＞0，所以ω=2．
因为f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），x∈R，
所以$-1≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$．
所以函数f（x）的最大值为1，最小值为-1．     
（Ⅱ）令$2kπ-\frac{π}{2}$$≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，
得2k$π-\frac{2π}{3}≤2x≤2kπ+\frac{π}{3}$，k∈Z，
所以$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$，k∈Z．
所以函数f（x）的单调递增区间为[$kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]$，k∈Z．

点评 本题考查了三解函数式的化简及三角函数的图象与性质，解决这类问题的关键是把三角函数式利用三角公式化成标准形式．